如果說「聖誕老人是存在的」是父母們對孩子的美麗謊言；那「聖誕老人是禿頭的」應算是自然語言跟弗雷格開的一個玩笑。在這篇文章中，我們會看到羅素如何拆穿「聖誕老人」的偽裝。
「聖誕老人是禿頭的」
到底藏在紅色帽子下面的是濃密花白的頭髮還是一顆亮麗的光頭呢？這存在不少的討論空間。但你有想過這簡單的一句其實在哲學上也有很大的討論空間嗎？
關於這個句子，有兩點是沒有爭議的：1）我們都能理解這一句的意思；2）聖誕老人是不存在的（！）。所以說，這一句是含無對象主語並且有語意的句子。在〈弗雷格的邏輯夢〉三中，我們已看過這種含無對象主語的句子如何對弗雷格的語意理論構成挑戰，和他如何透過引入意涵 (sense) 來解釋句子的語意。可是，理論仍有不少問題。
在弗雷格的分析下，這一類句子都是沒有真假可言的。然而，我們不是能有意義地討論到底「聖誕老人是禿頭的」這句這是真還是假嗎？意涵的引入似乎只是為了拯救原初的理論，這未免有邏輯謬誤 ad hoc 之疑；另一方面，意涵理論本身也面臨不少挑戰，例如很難說清楚意涵到底是甚麼1以及來自克里普克的模態論證挑戰2。
很自然的想法是，既然問題多多，那我們可不可以不要意涵呢？哲學家羅素認為可以。
讓我們繼續以聖誕老人為例子來解釋：
「聖誕老人是禿頭的」
弗雷格會認為該句的結構為主語—謂詞：「聖誕老人」在此為一專名指涉著一存有物——聖誕老人——並表示該存有物具有禿頭這個性質。可是現實上根本不存在聖誕老人。這是〈弗三〉所見的第一個難題，無對象專名。現在再比較以下這個句子：
「那個現時在位的法蘭西國王是禿頭的」 ("The present king of France is bald")
這句中在主語位置的是「那個現時在位的法蘭西國王」，為了表達英語中的定冠詞 "the"，只好有較不自然的中文式來表達。確定描述詞理論就是圍繞以定冠詞 "the" 的語意而建立的。
在弗雷格的分析下，由於兩句在語法上都是呈主語—謂詞結構，所以它們的邏輯結構也是相同。以謂詞邏輯翻譯成：
Bs
Bk
其中 "s" 指涉聖誕老人、"k" 指涉法蘭西國王、B 指禿頭這個性質。這翻譯很忠於中文／英文的語法。至此，我們知道在弗雷格的分析下，確定描述詞的語意和專名沒分別。
但羅素對確定描述詞的看法不同，他認為確定描述詞和專名具有不同的邏輯結構。所以，「那個現時在位的法蘭西國王是禿頭的」這一句的翻譯不是 Bk，而是：
以 "K" 表示「法蘭西國王」、"B" 表示「禿頭」，翻譯成謂詞邏輯
（i）(∃x) Kx
（ii）(∃x) Kx ＆ (∀y)(Ky -> y=x)
（iii）(∀x) Kx -> Bx
由於全句是由（i）、（ii）與（iii）以邏輯連接詞「並且」（conjunction）組成，所以可簡潔一點寫成：
(∃x)[(Fx & Bx) & (∀y)(Fy → x = y)]
以人類比較好理解的中文去寫：
（i）至少存在著一個法蘭西國王
（ii）至多存在著一個法蘭西國王
（iii）如果有任何東西是法蘭西國王的話，該東西也同時是禿頭的
謂詞邏輯所處理的是量化詞的語意，仔細一點看這三句的話，（i）是一存在主張 (existential5 claim)，但光是（i）的話推不出只有一個法蘭西國王存在。（ii）是一獨一主張 (uniqueness claim)，因為它在說若然有另外一個 y 也是 K 的話，x 和 y 是同一個東西，存在的只有一個對象。最後是最大值主張 (maximality claim)，每一個法蘭西國王都是禿頭的。
羅素下一步指出，無對象專名句子（以及絕大部份的專名）其實都是偽裝的確定描述詞 (deinifite description in disguise)。「聖誕老人」其實也是偽裝的確定描述詞，所以，"Bs" 並沒有正確地呈現其邏輯結構，其邏輯結構應該是 (∃x)[(Sx & Bx) & (∀y)(Sy → x = y)]。用中文去表達的話
（i）至少存在著一個聖誕老人
（ii）至多存在著一個聖誕老人
（iii）如果有任何東西是聖誕老人的話，該東西也同時是禿頭的
所以說，在羅素的分析下，含無對象主語的句子其實和確定描述詞具有相同的邏輯結構。這有莫大的啟示：由於（i）是假的，所以整句 (∃x)[(Sx & Bx) & (∀y)(Sy → x = y)] 也是假的。所以，在羅素的分析下，無對象主語句子有真假可言，我們根本不用訴諸意涵來解釋其語意。
現在我們以對二人的理論作一小結：
「聖誕老人是禿頭的」
弗雷格：句子語法結構反映邏輯結構。主語所指涉的對象並不存，因此無從談起到底是真還是假。可是，這句明顯的有認知意義，但不能以真假值來解釋。由此，我們要依賴真假值以外的東西來解釋這種句子的語意。這東西就是意涵。
羅素：句子語法不一定反映其相應的邏輯結構，無對象主語句子就是例子。句中的「聖誕老人」不是如「金城武」、「梁朝偉」一樣的專名，它其實是確定描述詞，帶有定冠詞「那個」，如「那個地球上最高的人」("the tallest man on earth") 一樣。「聖誕老人是禿頭的」有真假可言，並且是假的。意涵的引入是多餘的。
上段指出「聖誕老人是禿頭的」這一句是假的，根據邏輯的排中律 (law of excluded middle)，「聖誕老人是禿頭的」的否定是真的。換句話說，「聖誕老人不是禿頭的」這句是真的。可是，根據確定詞描述論，「聖誕老人不是禿頭的」這句其實是
（i）至少存在著一個聖誕老人
（ii）至多存在著一個聖誕老人
（iii）如果有任何東西是聖誕老人的話，該東西也同時不是禿頭的
翻譯成謂詞邏輯
(∃x)[(Sx & ～Bx) & (∀y)(Sy → x = y)]
但我們知道 (∃x)[(Sx & ~Bx) & (∀y)(Sy → x = y)] 是假的，因為（i）是假的。所以，在羅素的分析下，「聖誕老人是禿頭的」和其否定項「聖誕老人不是禿頭的」都是假的，違犯了排中律。
羅素的回應是，「聖誕老人不是禿頭的」這有歧義，翻成謂詞邏輯就會易看出來：
「聖誕老人不是禿頭的」
翻譯 1：(∃x)[(Sx & ～Bx) & (∀y)(Sy → x = y)] ＝ F
翻譯 2：～(∃x)[(Sx & Bx) & (∀y)(Sy → x = y)] ＝ T
這句歧義出現在邏輯運算子否定 "～" 有沒有在量化的範圍中。這歧義之所以可能，正正是因為以量化詞來理解確定描述詞。羅素指出翻譯 2 才是「聖誕老人是禿頭的」的否定句。翻譯 2 中的否定運算子是在量化詞的限制以外，因此其所否定的是以量化詞對世界的具體描述，而不是某一個體的描述，對比翻譯 1，則是在說一個不存在的聖誕老人不是禿頭（見黃色部份）。
既然翻譯 2 是真的，這並沒有違反排中律。
本文主旨只是帶出語言哲學的議題，令對語言哲學沒有涉獵但有興趣的讀者能有一個初步的了解，所以討論部份也只能「點到即止」。
但不要忘記，我們還有問題未解決！記得弗雷格難題不是有三個嗎？無對象主語句子只是第一個，羅素的確定詞描述論可以處理到資訊性難題和信念語境難題嗎？此外，還有更耐人尋味的議題，那就是含無對象主語的否定存在句子 (negative existential claim) 如「聖誕老人是不存在的」。羅素的確定描述詞能處理到，或如何處理這類句子的語意？「存在」是如「禿頭」一樣是對象的性質嗎？
可以肯定的是，如果你正在煩惱如何跟孩子說聖誕老人是不存在的話，還是不要問哲學家好了……
客觀公共性：準確一點應該說是非私人的，即是說相對於某一表達式而言，你所理解的意涵和我所理解的是一樣的。
規範性：意涵以及由意涵組合成的思想 (thoughts) 告訴我們哪些對象表達式應該指涉什麼對象，而不是該些表達式事實上指涉什麼對象。
這兩個關於意涵的描述與弗雷格把邏輯去心理化的觀點一脈相承。雖然這裡我們不處理意涵到底是什麼東西這個大問題，但意涵的公共性卻能告訴我們意涵不是什麼：意涵不會是一些主觀的經驗如心靈圖像和觀念。這亦解釋到我們為什麼可以透過語言來溝通。不然的話，同一個表達式，你理解的意涵和我理解的意涵的話，從而你理解的意思和我理解的不同，我們怎麼可能成功溝通呢？當回答「意涵到底是什麼？」時，這兩點一定要考慮進去。
先考慮以下這句（廢）話：
「媽媽是女人」
我們不用去調查全天下的媽媽、看看是不是每一個都是女人，就能確定這一句的真假值。因為「媽媽」的意思就包括了「女人」，換上我們的術語：我們只需了解「媽媽」的意涵，就能決定這一句話的真假值。這情況下我們稱這類句子為分析的（真）。此外，這句似乎也是必然的——你能想像不是女人的媽媽嗎？有了分析性和必然性這兩個概念後，現考慮：
「川普」
「第 45 屆美國總統」
其中， 「川普」是專名；「第 45 屆美國總統」是意涵，因為僅有一個現實世界的存有物能滿足「第 45 屆美國總統」這描述。現考慮以下句子：
「川普是第 45 屆美國總統」
若果「川普」這專名的意涵是「第 45 屆美國總統」的話，「川普是第45屆美國總統」這句的認知意義對我來說應該與「第45屆美國總統是第45屆美國總統」這句無異，既是分析的也是必然的，和說 "P = P" 沒有分別。
可是，明顯地「川普是第 45 屆美國總統」既不是分析的也不是必然的（雖然是真的……）。設想阿強自 2014 年每天研究哲學不問世事，對美國大選一無所知。他雖然知道川普是誰，但沒辦法透過分析 「川普」這個名字就能判斷「川普是第 45 屆美國總統」是真；我們也不難想像川普不是第 45 屆美國總統。希拉莉不只有可能亦在當時有機會成為第 45 屆美國總統。所以問題是，弗雷格的理論把不應該是分析的、必然的句子推斷為是分析、必然的。
注意，他的模態論證不僅適用在弗雷格的意涵理論，這文章所討論羅素的確定詞描述理論也無法倖免，因兩者都是在專名的語意上都是描述主義者 (descriptonist)。有興趣的讀者可自行深究下去。
