【泛哲學】弗雷格與他的邏輯夢(上) | 哲學新媒體
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弗雷格與他的邏輯夢(上)

弗雷格花了大半生的學術生涯在進行邏輯主義計劃上 (the Logicist Project),期間,催生了我們現在說的語言哲學或語意學 (Semantics),而他的語言哲學——主要透過維根斯坦——...

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3

對20世紀分析哲學有涉獵的朋友,不難發現哲學家通常在陳構理論時,會區分語言和由語言描述的世界,或者用一些邏輯表達式來陳述他們的理論。例如 Evans 只有一頁的論文,或者是 NoonanPersonal Identity 一書中的這一頁(見右圖)。

可是這個傳統何來?為甚麼分析哲學的著作總是假定讀者有一定的語言哲學和邏輯基礎?為何這三者有著如此密不可分的關係?到底是誰把邏輯和(分析)哲學拉上關係的?如果硬要給出一個答案,這個傳統似乎能追溯至 19 世紀的德國數學、邏輯學、哲學家弗雷格

弗雷格花了大半生的學術生涯在進行邏輯主義計劃上 (the Logicist Project),期間,催生了我們現在說的語言哲學或語意學 (Semantics),而他的語言哲學——主要透過維根斯坦——促成了 20 世紀哲學界的語言轉向 (the Linguistic Turn)和分析哲學的形成。所以,他在哲學近代史中是不容忽視的,因為他一個人,哲學和邏輯在 19 世紀末都出現了革命性的改變。奈何,他的知名度遠遠不及其他對於分析哲學的形成影響極大的哲學家如羅素維根斯坦摩爾

這篇文章的主要寫作目的是希望能為對分析哲學或語言哲學有興趣的朋友提供指導性的簡介。文章的主要內容不在歷史,而是在弗雷格的語言哲學。全文分為上、中、下三篇。上篇主要是關於背景和歷史,中篇是關於他的語言哲學,而後篇是關於弗雷格自己提出的三個語言哲學所遇到的難題和他自己提出的解決方案(劇透:法國國王沒有頭髮,可是「法國國王」有 sense)。雖然本文只希望集中介紹他在語言哲學上的貢獻,但由於這是他在進行邏輯主義計劃時的「副產品」之一,所以有必要從邏輯主義計劃開始講起。另一方面,由於主題是語言哲學,當中精彩的數學哲學史和弗雷格在邏輯上的貢獻只能從略。

1. 弗雷格是誰?

能在一個學術範疇引領一次革命性改變的人不多,可是弗雷格分別在兩個範疇,邏輯和哲學上,均引領了革命性的改變。具同樣成就的人在歷史上寥寥可數,能產生這樣的影響力但在生時被忽略的則更少。而這兩個革命都有著相同的起點-邏輯主義計劃。

2. 從邏輯主義 (Logicism) 到現代邏輯

邏輯主義者認為我們能把數學化約為邏輯。這個對數學的基礎提出的立場稱為邏輯主義 (Logicism),最早是由 17 世紀哲學家萊布尼茲提出,在數百年後由弗雷格在 19 世紀末段開始進行。這個把數學化約為邏輯的計劃稱為邏輯主義計劃 (the Logicist Project)。可是,為甚麼要把數學化約為邏輯?主要原因是基於對數學研究對象的反思。

數學研究的對象是甚麼?

  • 「一加一等於二」
  • "1+1=2"
  • "one plus one equals two"

考考你,以上三句句子是關於甚麼?「數學!!!」

不錯,可是數學是甚麼?數學研究的對象是甚麼?「數字!!!」

數字?!可是數字只不過是一堆擁有特定結構的聲音或圖像而已。"2" 、 "two" 、 "koks" 、「二」,這些都是數字,但沒有人會說數學的研究對象是這些數字的性質,如 "koks" 當中有多少個 "k"、「二」那兩劃之間的距離是多少4

「數!!!」

似乎是比較好的答案,因為我們一般認為數字記號——如阿拉伯數字 "2"、中文的「二」、愛沙尼亞語的 "koks" 和英語的 "two" 都是不同數字記號——表徵 (represent) 同一個數。換成不同的語言,對象不會因此改變,所說的仍是關於數的學問。

甚麼是數?

如果採取柏拉圖的本體論觀點,即除了物質世界以外,還有一個理型世界的話,我們可以說數是存在於理型世界中的存有物。可是,即使不談柏拉圖理型論在本體論上是較「不經濟」5,我們是如何對理型世界的存有物有知識?帶柏拉圖主義的知識論並不容易辯護6,而在 19 世紀時,柏拉圖主義已得不到廣泛的支持。我們有辦法為數學提供一個不帶有(或帶有較少)柏拉圖主義色彩的根基嗎?

弗雷格認為可以,就是透過證明我們能從邏輯公理 (axioms) 和定義推出由皮亞諾等人陳構的皮亞諾公理7,其中,他要求每個推論步驟均是演譯的,即符合某些演譯邏輯定理或定義,而隨後得出的證明將會是一個演譯的證明 (deductive proof)。如若成功,便算得上是把數學化約為邏輯了。也就是說,數學的知識是來自於邏輯的知識。8

為甚麼是邏輯?

兩個原因: 1) 邏輯是被預設為本體論中立的,把數學化約為邏輯能克服上述關於數的本體論問題,2) 弗雷格反對心理主義的立場。

當然,邏輯主義並不是唯一的出路,其他進路包括直覺主義形式主義述詞主義 (predicativism)……等等。

可是,這將會是一個怎樣的證明?我們知道,若果要提供一個邏輯證明,我們需要經過一個把日常語言翻譯成形式語言的步驟,然後根據該邏輯系統的推理規則或定義,由前提推出結論。例如:

「所有人都會死,所有地球人是人,因此所有地球人都會死。」

亞里士多德的三段論邏輯會被譯為

"All S is P, All M is S, therefore All M is P",

而在該系統中,這是一個邏輯上有效 (valid) 的論證。同樣道理,如果弗雷格想要為某個數學定理提出一個邏輯證明的話,該邏輯系統要告訴我們如何把涉及該數學定理的句子翻譯成(該系統中所容許的)形式語言,然後我們則根據該系統的推論規則或定義,嘗試為該數學定理陳構出一個邏輯證明。

可是在弗雷格的時代,亞里斯多德邏輯和斯多葛邏輯都不能完全處理表達數學定理的句子,因為前者只處理含量化詞如「所有」、「有些」的句子構成的論證,後者處理含語句連接詞——如「並且」、「或者」、「非」、「如果...則...」——的句子所組成的論證。而描述數學定理的句子往往既涉及量化詞又涉及語句連接詞,以皮亞諾的其中一條算術公理為例:

Induction axiom: If a set  of numbers contains zero and also the successor of every number in , then every number is in.

歸納公理:如果一個集合包含零以及零之後的所有後繼數,那麼所有的數都屬於該集合。

數論中的 Unique Factorisation Theorem

every integer greater than 1 either is prime itself or is the product of prime numbers, and that this product is unique, up to the order of the factors

對於任何大於 1 的數字 n,n 要麼是質數,要麼是質數之積的產物 (product),而該產物是(不計質數的序)獨一的

所以弗雷格需要一個同時能處理量化詞和句子連接詞的邏輯系統。Begriffsschrift (1879) 一書9 的成書目的,正是透過建立出如此一個邏輯系統,藉此完成為每條算術定理陳構出邏輯證明10。弗雷格系統的強大之處在於它能在一個邏輯系統中同時處理含量化詞和語句連接詞的語句,而在此之前,亞里斯多德的系統處理含量化詞的論證,斯多葛邏輯處理句子連接詞的論證,並且邏輯學的發展都停留在把他們的邏輯系統優化和改良,但這可是古希獵時代的東西……這亦是為甚麼弗雷格在邏輯上的貢獻是革命性的。11而我們現在所見的「教科書」邏輯系統,一階邏輯系統 (First-order Logic) 的原形就是弗雷格的系統。12

3. 後記

以上,我簡略地介紹了邏輯主義計劃和弗雷格為現代邏輯帶來的革命性改變,對於該段邏輯史和邏輯學有特別興趣的讀者可以到部落格紫煙亭中看〈邏輯學簡史〉和其他相關的文章。在這一段歷史中,弗雷格的初衷雖然是進行邏輯主義計劃、把數學化約為邏輯(而他的動機是知識論的),但他意會到這是建基於分析數學表達式之上(或數學表達式所表達的意思),而他的邏輯系統就是把量化詞和連接詞所表達的(意思)形式化:「所有」翻譯為 "∀(x)"、「如果...則...」翻譯為 "...->..." 並且告訴我們涉及這些詞的句子在他的系統中的推論規則是甚麼。可是,這些符號到底代表甚麼?我們一般認為數字記號"2"是代表/指涉一個數 i.e. 2;專名(proper name)是代表/指涉一個人,但一句句子所指涉的又是甚麼?這個符號"∀(x)"又代表/指涉甚麼?如果一個符號所代表/指涉的就是該符號的意思 e.g. 「金城武」指涉的是藝人金城武,所以專名「金城武」的意思就是藝人金城武,我們是不是能同樣地把一句句子的意思分析為該句所指涉的東西?由於弗雷格並不持符號主義的立場,所以他有需要解釋這些他允許的存在物。

另一方面,如果我們可以以一句句子的指涉物來分析一句數學表達式的意思,這不是意味著我們可以同樣地分析日常語言句子,如「王靖雯是王菲」和「北斗神拳是無敵的」?若果可以,我們能以甚麼來分析這些句子所表達的意思?這些是語言哲學/語意學的問題。在下一篇文章中,我們將介紹弗雷格如何分析數學表達式,並應用在分析日常語言的句子上。你將會知道,「意思」這個似乎十分神秘的,每當我們聽到一堆聲音、看見一堆符號就會「理解」、「捕捉」到的東西,(對於弗雷格而言)到底是一個甚麼鬼東西!

  • 1. Philosophie der Arithmetik. Psychologische und logische Untersuchungen (1891)
  • 2. Tractatus Logico-philosophicus (1921)
  • 3. 詳見史丹佛哲學百科 Logicism and Neologicism 與 Philosophy of Mathematics 兩個條目的介紹。
  • 4. 而這些性質亦假設了某些數學概念……
  • 5. 即需要陳構較多的存在物,例如不僅蘋果是存在的,蘋果的理型(Form)也是存在的。
  • 6. 例如我們需要假設靈魂存在,學習(learn)其實是(recall),知識是先天的(innate)等等。
  • 7. 感謝讀者 Cheng KaYue 的指正
  • 8. 當然,這樣還未完全解決問題,如果數其實是邏輯對象 (logical objects),我們問這些邏輯對象是甚麼?邏輯對象存在在經驗的世界嗎?這有待讀者自行深究。基本的答案是如果邏輯對象是集合,集合是可以由經驗界的物件構成,如放兩個蘋果在面前,我們就有了一個包含了兩個蘋果的集合,邏輯對象至少帶有少一點的柏拉圖色彩。
  • 9. 英譯為 Concept Writing 或 Concept Notation,中譯為《概念文字》。
  • 10. 把數學和邏輯拉上關係對於 20 世紀的我們來說不會太陌生,尤其是對於有學過基礎邏輯學的人,但在當時可不是這樣認為。請注意這是 20 世紀的我們回看 19 世紀末的時期,那時侯邏輯還沒有(完全)經歷「去心理化」,並且是文學院的科目。而現在,邏輯已被普遍視為是理工類的必修學科。
  • 11. 在 Begriffsschrift 中,弗雷格的貢獻主要是語法上的。他並沒有多談應該如何詮譯 (interpret) 他的記號,我們只知道涉及量化詞的句子的形式翻譯和其相對的邏輯推理規則,在 19 世紀這是挺典型的。他在語意學 (semantics) 上的貢獻主要出現在Grundgesetze der Arithmetik (1892)。
  • 12. 幸運或不幸運地,現代邏輯並沒有採用他當時用的記號法,而是採用《數學原理》中的記號法。公理化謂詞邏輯系統已經不是容易消化的東西,實在很難想像如果用弗雷格的記號法去學會怎樣……但這不一定適用於某些數學家

作者
Litman
香港人、80後、在愛沙尼亞修讀哲學博士(塔圖大學) facebook:litmanhuang

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