「王菲是王靖雯」、「蘇格拉底荼毒青年」、"God is dead"、"Ilm on hukas"、"Täällä on mukava ilmapiiri"、"Det er hyggeligt her"、"C'est agréable ici"……如果你會相應的語言的話，你會看得懂以上的句子，你會判斷它們為有意義的句子，問題是：意義其實是個甚麼東西來的？
在上一篇文章，我簡單地介紹了弗列格是如何分析「意義」這東西。他的本體論中容許的存有物為對象 (object) 和函數 (function)，而我們一般所說的「意義」被有系統的分析為對象和函數。考慮以下例子：
句子T：「蘇格拉底荼毒了青年」
句子T*："Socrates corrupted the youth"
我們一般判斷（1）T 和 T* 都是有意義的句子；（2）T 和 T* 表達相同的意義。以下是弗列格系統下的解釋：
| 專名 | 關係 | 對象 |
| 「蘇格拉底」 | 指涉 | 蘇格拉底 |
| "Socrates" | 指涉 | 蘇格拉底 |
| 謂詞 | 關係 | 函數 |
| 「...荼毒了青年」 | 指涉 | f(x) |
| "...corrupted the youth" | 指涉 | f(x) |
「蘇格拉底」和 "Socrates" 都指涉 (refer to/denote) 同一個對象——蘇格拉底——而「荼毒青年」和 "corrupted the youth" 所指涉的概念都具有相同的外延 {<蘇格拉底, 假> ...}（弗列格稱涉及真假的函數為「概念」）。由於相同的外延識別相同的函數—— f(x) ——所以 (__)荼毒青年 和 (__)corrupted the youth 為同一個概念。對象一樣，函數一樣。由於語意性質為真假值，句子 T 和 T* 同為真，所以句子 T 和 T* 所表達的命題也一樣。既然表達的命題是相同，而命題為意義的載體，兩句句子的意義也相同。換句說 T 和 T* 具相同的語意值 (semantic value)，所以 T 和 T* 具相同的意義。
在這個講法下，我們所謂專名 (proper name) 的意義，就是該專名所指涉的對象。「王菲」這個專名的意義是王菲，因為「王菲」指涉王菲（「王靖雯」也是）；「蘇格拉底」的意義是蘇格拉底，因為「蘇格拉底」作為專名指涉蘇格拉底。這個理論一般稱為直接指涉理論 (Direct Reference Theory)1，其背後的主張就是字詞—如專名、謂詞等語言項目—的意義就是該字詞所指涉在現實中存在的對象。而我在上一篇文章所呈現的弗列格語言哲學就是一個直接指涉理論的例子。
可是語意性質就只有真假值？換句話說，光靠真假值的異同就能解釋和決定日常語言中變幻莫測的語義？
當然沒這麼簡單啦！
弗列格在《意涵與指稱》(Sense and Reference) 中陳構出三個難倒了直接指涉論的情況，現今一般稱為「弗列格難題」 (Frege Puzzles)，並指出光靠真假值來分析語意性質的不足之處。他認為真假值以外我們還需要另一個語意值 (semantic value)，那就是所謂的意涵（英釋：sense、德文原文：sinn）。這一節讓我們先看看弗列格的難題如何對直接指涉理論構成挑戰。
我們說專名的意義就是其指涉的對象，但如果一句子中的名字是沒有相應存在的對象呢？以下是一句含有無對象名字的句子：
句子S：「老夫子送了陳小姐一束花」
明顯地，我們都理解這一句的意義。根據合成原則，整句句子的意義由句子部份的意義構成，所以句子的主詞部份——即「老夫子」——也應該是具有意義的。根據直接指涉理論，專名的意義是其指涉物 (reference)。可是，世界上根本不存在這個對象——老夫子（至少，這個「存在」的意思與我們一般認為物理對象 (physical objects) 的存在十分不同，例如老夫子所在的時空位置是甚麼？）。根據當前的理論，我們理應推出以下結論：「老夫子」這個名字是沒有意義的。可是我們確實能理解該句子，同時合成原則也不見得有問題。如此一來，絕大部份我們認為有意義的句子其實也不是沒有的，比如「楊過愛上小龍女」、「妙麗．格蘭傑打了跩哥·馬份一拳」。顯然，理論有不足的地方！
第二個難題與句子的資訊性有關，而一般會以兩個／多個主詞具有相同指涉物來作為例子說明。
弗列格的著名例子是「長庚星／啟明星」。故事是這樣的，古人觀察到有一顆星老是早上出現，故命名為「長庚星」（又作 "Phosphorus" / "the morning star"）2；古人又觀察到有一顆星老是在晚上出現，故將其命名為「啟明星」（又作 "Hesperus" / "the evening star"）。現今天文學告訴我們，它們其實都是同一顆星：金星。換句話說，「長庚星」和「啟明星」都指涉同一個對象——金星。
P：「啟明星是啟明星」
P*：「長庚星是啟明星」
設想阿強對天文學的認識與當時的古人無異，你問「阿強，你知道嗎？啟明星是啟明星。」阿強回應道「廢話，誰不知道？！」設想你又告訴他：「但你知道原來長庚星是啟明星嗎？」阿強大吃一驚「嚇！真的嗎？！長知識了！謝謝！」
問題是，根據直接指涉理論，P 和 P* 的意義應該是相同的。因為謂詞相同，指涉的函數是相同，「啟明星」的指涉物與「長庚星」的指涉物是同一個對象——金星。所以放進函數的都是同一個對象（f(x): x = 金星），得出的值 (value) 自然是一樣的。若果我們以該句的真假值來分析句子意義，我們應該會判斷 P 和 P* 是具相同意義的句子，阿強不應該會有如此反應。換句話說，根據直接指涉理論，P 和 P* 所表達的命題應帶有同樣的資訊性，阿強聽到 P* 所理解到／獲得的資訊應該和 P 無異。但似乎我們都會判斷 P 和 P* 所具的資訊是不一樣的，這解釋了阿強的反應。只要是具共同指涉 (co-refer) 的主詞項也會產生同樣情況，如：王菲／王靖雯、Muhammad Ali／Cassius Clay、金庸／查良庸等等。同理，也不一定要涉及表達同一性 (identity) 的謂詞。讀者宜自行陳構較有創意的例子。
考慮以下兩句句子：
Q：「阿強相信啟明星是啟明星」
Q*：「阿強相信長庚星是啟明星」
我們可以這樣理解 Q：Q 有兩個組成部份，(a) 是「阿強相信……」，(b) 為「啟明星是啟明星」。其中，光是 (a) 的話不是一句完整的表達式，但 (b) 獨立地已是一句完整的表達式 (b = P)。Q* 與 Q 的不同之處在於其相對的組件 (b*)：「長庚星是啟明星」(b* = P*)。根據直接指涉理論，b ＝ b*。加上合成規則， Q 和 Q* 都是由 (a) 和相同的組件 (b=b*) 所構成，所以 Q 和 Q* 的語意值是應該一樣的。由此，Q 和 Q* 的意義是一樣的。可是這明顯有問題，因為 Q 為真的話，Q* 不一定為真啊。設想阿強是古人的話，他不相信長庚星是啟明星反而是挺合理的。
以上的難題展示了直接指涉理論有不足之處，而弗列格提出的解決辦法是：字詞除了指涉 (reference／德：bedeutung) 之外，還有意涵 (sense，德：sinn)。我們已花了不少篇幅在指涉作為對象上，似乎已有相當的掌握，可是意涵是甚麼一回事？怎樣透過陳構意涵去解決我們當前面對的難題？
「什麼是意涵？」比較廣泛接受的講法為「呈現指涉的一種方式」(a mode of presentation)，意涵與指涉對象的關係為：(1) 意涵決定 (determine) 指涉對象3；(2) 同一個指涉可以有不同的意涵。為方便理解，一般講法會把意涵理解為具描述性質的條件 (descriptive conditions)。以啟明星和長庚星為例子，我們說語意性質有指涉和意涵，意涵決定指涉，如以下圖表：
| 語言 | 關係 | 現實 | 語意性質 |
| 「長庚星」 | 指涉 | 金星 | 指涉 |
| 「早上會看見的星」 | 意涵 | ||
| 「啟明星」 | 指涉 | 金星 | 指涉 |
| 「晚上會看見的星」 | 意涵 |
| 意涵 （sense/sinn） |
關係 | 指涉 （reference/bedeutung） |
| 「早上會看見的星」 | 決定 | 金星 |
| 「晚上會看見的星」 | 決定 | 金星 |
咦？！所謂的「決定關係」是怎樣的關係？我們可以用函數關係（function）去理解。我們說專名除了有意涵還有指涉，然後理解意涵為函數。「長庚星」理解為以下描述條件：「早上會看見的星」；「啟明星」理解為以下描述條件：「晚上會看見的星」。所謂的決定關係是指同一個意涵不會和不同的指涉構成關係，但同一個指涉可以和不同的意涵構成關係－函數關係。同樣是想要說金星，你可以以不同的意涵去表示，上述的描述條件句只是其中之一，若語境明確，甚至可以是「昨天我和小美在山上看的那顆星」或李小龍的手指（見右圖）4。
現在我們已準備好了！一起看看弗列格怎樣透過陳構意涵去解決他自己構思出來的難題吧。
由於意涵也是語意性質，而無對象名字如虛構角色老夫子的名字「老夫子」，雖然沒有對應的指涉對象，但「老夫子」這個名字有對應的意涵，我們可以以下描述條件來表達該意涵：
整部《老夫子》漫畫的主角，頭髮稀疏，約40歲左右，臉上長有八字鬍子，身體瘦長，身型略瘦，額有皺紋。未婚。無固定職業。衣著方面，除了在武俠世界外，他經常穿著同一款的衣服，包括黑邊細小瓜皮帽、黑色企領馬甲（中央有三點白色圓點圖案）、黃色長衫、藍色格子圖案長束腳褲、背心式圓領內衣、白襪和黑色功夫鞋5。
而我們理解「老夫子」這專名時，所理解的是該專名的意涵，所以無對象專名是有意義的。
比較「啟明星就是啟明星」和「長庚星就是啟明星」，如前所示，這句子中的「長庚星」和「啟明星」具有不同的意涵，而前句和後句的分別在於後句把前句主語部份的「啟明星」更換了「長庚星」。由於後句整句句子由不同的意涵構成，意涵是語意性質，是資訊的載體。所以更換後的後句和前句有具有不同的資訊，自然有不同的意義。
弗列格認為在信念語境下，句子的指涉並不是真假，而是由函數所構成的思想 (thought)。這裏需進一步說明所謂由意涵構成的思想是甚麼。我們之前已講句子的的主語部份——如專名——除了有指涉還有意涵這個語意性質。同理，句子的謂詞部份也是一樣。有關的句子的謂詞部份為：
| 語言 | 關係 | 現實 | 語意性質 |
| 「……相信長庚星是啟明星」 | 指涉 | 思想 t | 意涵 |
| f(x)＝真 | 指涉 | ||
| 「……相信啟明星是啟明星」 | 指涉 | 思想 t* | 意涵 |
| f(x)＝真 | 指涉 |
句子中的相信指出了這句子是要在特定語境下去理解6。在這語境下，思想 t 是由「長庚星」的意涵、「... 是 ...」的意涵和「啟明星」的意涵構成；思想 t* 是則是由「啟明星」的意涵 x2 和「... 是 ...」的意涵所構成。顯然，思想 t 和思想 t* 由不同的構成物所構成，根據合成原則，思想 t 和思想 t* 是不一樣的思想。
當阿強相信「長庚星是啟明星」和阿強相信「啟明星是啟明星」時，阿強所持的思想 (thought) 是不同的（前者為 t、後者為 t*）。這解釋了為何阿強可以對「長庚星是啟明星」和「啟明星是啟明星」持不同的判斷。所以，Q 和 Q* 具不同的真值條件。
總括而言，我們總結弗列格的理論為：有系統地去分析我們所謂一句句子的意義到底是甚麼。這個對於語言與現實的意識和區分在哲學發展史上是十分重要的（不光是分析哲學！）。在弗列格之前，哲學家一般只會直接去講哲學問題，哲學問題的來源和解決辦法似乎和對於的語義研究沒有多大關係。弗列格之後，哲學家開始意識到分析語言的重要性和其涵蘊，因為分析語言的同時亦涉及到語言所涉及的現實。
若果哲學家關心的是世界最終的現實（形上學）或我們能夠知道甚麼（知識論），與其直接的討論，比方說「上帝是不是存在的？」，是不是也應該討論一下「上帝存在」或「x 存在」是甚麼意思？與其直接討論我們能不能知道我們不是桶中之腦 (brain in a vat)，是不是也應該討論一下在甚麼條件下，我才可以說「阿強知道他的腦袋不是在桶裏面」這句是真的。
很自然地，從這個對語言有自覺意識發展出的分析哲學是十分強調論述準確、意義清晰，在論述時用上了一些邏輯符號對分析哲學家而言不過是「平常事」。當然，透過分析語言可以有多大程度上解決或消解 (resolve) 哲學問題是一個具爭議的討論。但可以肯定的是，弗列格的理論開創了一個新的討論哲學問題的方法。如果說笛卡兒是以知識論作為第一哲學的話，似乎我們可以說，弗列格起了革命，讓語言哲學取代了知識論第一哲學的地位7。
我們已看過弗列格在分別在邏輯上的和語言哲學上革命性的貢獻，可是這些都是進行邏輯主義計劃所催生出的「副產品」，弗列格成功把數學化約成邏輯了嗎？
弗列格在 Begriffsschrift (1879) 陳構好進行邏輯主義的形式工具以後，具體把數學化約為邏輯的著作為 The Foundations of Arithmetic (1884). Basic Laws of Arithmetic (vol. 1, 1893; vol. 2, 1903; vol. 2）。第一卷出版了沒人看，所以第二卷弗列格要自掏荷包出版。正在第二卷已在印刷途中時，他收到了英國哲學家羅素的一封信。原來當時羅素也在進行類似的計劃，但他發現弗列格的邏輯系統中的第五公理有問題（這條公理並不在 Begriffsschrift 中，是一條新公理），並且證明了該公理會導至自相矛盾 (self-contradiction)，也就成了現在說的羅素悖論或理髮師悖論。
很想知道是甚麼證明這樣厲害吧？其實不難懂，但需一步一步來，先把論證涉及的東西搞清楚。
第五公理：對於任何性質 P，都存在一個集合
例子
性質 R：「是紅色的」＝集合A：｛
, 
, 
, 
, }
性質 ~R：「不是紅色的」＝集合B：｛
, 
, 
, ｝
性質 S：「是集合」＝集合C：｛｛, , , , ｝, ｛1, 2, 3｝, ｛a, b, c｝...｝
性質 ～S＝「不是集合」＝集合D：｛, , x, q, ｝
性質 Q：「自己為該集合的成員」＝集合E：｛ ? ｝（不知道怎樣表達「所有集合的集合」……）
另一例子，考慮「不是」這個描述，我們會有集合 F：｛
, 
, 
, 集合F:{...}｝（注意綠色部份是集合F自己啊！）集合F滿足「不是」的描述，因為集合 F 是一個集合，不是，所以自身也是集合的成員，由此滿足性質 Q 的描述。
性質～Q：「自己不是該集合的成員」＝集合 G
例子「包含所有表情符號的集合」：｛
, 
, 
, 
, , ...｝。這個集合滿足了「自己不是該集合的成員」，因為只有表情符號才是 G 的成員，而 G 自身是一個集合，所以不能是自己集合的成員。
準備好的話，我們可以開始論證囉～從以下這個問題開始：「集合 G 是不是自己的成員呢？」
論證
1. 集合 G 要麼是，要麼不是
2. 假設合 G 自己是自己的成員 [假設1]
3. 可是集合 G 的界定性質為 ～Q：「自己不是自己的成員」
4. 自相矛盾：集合 G 同時是又不是自己為自己的成員
5. 歸謬法，所以假設 1 為假
6. 所以集合 G 自己不是自己的成員 [5, 1, DS]7. 可是，若果集合 G 自己不是自己的成員的話，這會滿足了界定性質～Q：「自己不是自己的成員」，由此推出，集合 G 自己會是自己的成員
8. gg！
怎麼辦？弗列格嘗試解決，並趕緊加上在第二卷的附錄中，但可惜不見得是滿意的答案。所以呢，就因為羅素這一封信，弗列格的邏輯夢破滅了，亦似乎宣稱了邏輯主義是失敗的。弗列格因此心靈大受打擊，及後更放棄了邏輯主義，亦甚少發表學術文章。在他及後與維根斯坦的信件來往中，他多次提到自己精神大不如前，無法與維根斯坦研究哲學問題。學術界一般認為——至少弗列格他自己認為——這個把數學化約為邏輯的計劃是不成功的8。
