【泛哲學】希臘真的是數學的誕生地?(上)美索不達米亞 | 哲學新媒體
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希臘真的是數學的誕生地?(上)美索不達米亞

我們在學校都學過泰利斯定理與畢達哥拉斯定理,我們也認為歐幾里德就是幾何學的奠基者。在胡賽爾看來,數學在希臘如同奇蹟般的誕生,正是西方科學理性的出發點。這是個將世界當作數學,...

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引論

我們在學校都學過泰利斯定理與畢達哥拉斯定理,我們也認為歐幾里德就是幾何學的奠基者。在胡賽爾看來,數學在希臘如同奇蹟般的誕生,正是西方科學理性的出發點。這是個將世界當作數學,並且以抽象工具掌握世界的計畫,今天的我們則是這一切的繼承人。在這部關於理性進展的大書中,伽利略(「自然是一本用數學語言寫成的書」)與笛卡兒是其中的重要主角。這樣的理性觀也延續到漢娜鄂蘭,在《人的境況》一書中,她將現代性定義為從宇宙的觀點、從觀念的天空去看地球的嘗試,並且透過觀念的體系去掌握世界。亞歷山大夸黑,這個翻轉了科學史研究的人,也為這個理性的出生證明背書:

因此,並不是埃及的測地員(希臘文為 harpedonaptês,意思是手持繩尺者),也就是負責測量尼羅河谷田地的這些人發明了幾何學:而是希臘人,雖然他們沒有什麼值得測量的東西;而測地員滿足的是找到公式。同樣地,並不是巴比倫這些相信星象學的人[……]建構出行星運動的系統;而是,還是他們,這些不相信星象學的希臘人;巴比倫人滿足於發明計算方法,同樣是公式,不過是極為精巧的。按照這樣的觀點,我認為,我們可以很好地解釋為什麼科學沒有在波斯或中國誕生與發展[……],也可以解釋為什麼科學能夠在希臘誕生與發展[……]1

不過他還是做了點讓步,他說,沒有人能掌握完全的說明。

如果這樣的說法是錯的呢?今天已有不少古代科學史的專家,正專注於數學「誕生」的歷史書寫。他們發現數學並不是只有一個,而是有很多搖籃。甚至認為,根本就沒有數學「誕生」這回事,因為「誕生」這樣的概念並不適用於數學。此外,希臘的數學也與我們以往所想像的有所不同……

科學史家克莉絲汀‧普魯斯特 (Christine Proust) 注意到:

在圖侯-東將 (François Thureau-Dangin) 與諾伊格鮑爾 (Otto Neugebauer) 於 1934 到 1949 年這段時間所彙整出版的楔形文字數學的第一個重要版本後,古代科學史的研究應該會面臨一個真正的革命。這些年代久遠的文獻,大部分能追溯到西元前第二個千年。這些讓科學研究者看到,早在歐幾里德的幾何原本一千年前,就有了高度發展的數學。

但我們不能不說,這些文獻的影響是有限的。儘管有華格納 (Donald B. Wagner)、霍伊魯普 (Jens Høyrup)、普魯斯特 (Christine Proust)、吳文俊 (Wu Wenjun)、林立娜 (Karine Chemla)、克羅茲 (Pascal Crozet)、帕特 (François Patte)、史尼瓦 (M.D. Srinivas)、阿嘉特‧凱勒 (Agathe Keller) 這些人的研究(僅僅是名單中的一部分),人們還是認為數學起自於泰利斯與畢達哥拉斯。為什麼會對此堅信不移?

歷史學家林立娜 (Karine Chemla) 認為,許多人仍然認為數學源自於泰利斯與畢達哥拉斯,是因為他們認為數學證明是希臘人發明的,而只有依照公理—演繹程序所呈現的步驟,才能夠當作是數學證明。也就是說,演繹法與計算公式被當作兩種完全不同的東西,而只有建立在公理—演繹框架下的演繹證明,才是唯一可能的數學證明。一個很普遍的觀念是,計算公式僅適用於個例,並且沒有重要的理論價值;數學證明才是真正重要的課題。正如哈金 (Hacking) 所強調,數學證明深刻啟發了歐洲的哲學與神學。他看出數學證明的經驗「感染」了哲學的許多核心領域,而這些與數學並不見得有什麼關聯。問題在於,他所說的證明僅止於公理—演繹式的,對他來說這也是唯一可能的方法。

另一個原因是,儘管有巴什拉 (Bachelard) 的警戒,科學史的研究仍然帶有神學色彩:科學的發展是進步的有目的的,而這個目的就是現代科學。科學史就是這個進步的軌跡,無論是直線或螺旋式的進步。康德的歷史哲學很清楚是一種目的論的學說,他同樣認為泰利斯是數學證明與幾何之父。在法國高中三年級的教材中,我們讀到:

數學,從人類理性史上所能追溯到的最早時期起,就在令人欽佩的希臘民族中走上了科學的可靠道路。[......]第一個論證等腰三角形的人他可以叫泰利斯,也可以叫隨便那個名字,他的心中肯定閃現過一道亮光,開創過一種新見2

康德的想法很可能是建立在他那個時代所能發現的最早文獻,而這些是來自希臘化時代的。對他而言,數學的誕生與科學史的奠基是重合的。

十九世紀的的史學家並沒有真的主張,數學證明絕對是希臘的。但正如夏雷特 (François Charette) 所說,他們也堅持「東方」數學的個例性與零散性。數學史的內容就因此被區分為東方/西方,或是西方/非西方,一邊是公理—演繹法,另一邊則是直覺、歸納、計算公式等等。這樣的區別一開始是在文藝復興時代,到十九世紀殖民政治的脈絡下達到高峰。另一方面,這也和科學的體制化與專業化有關。科學家,尤其是從事數學相關工作的,找到自己的定位、方法,並且在更強的意義下形成了「科學社群」。科學社群的意義、對相異性的排斥、標準化歷史的建立,這些是同時並行的。

資料來源的先時性成了問題的關鍵。能到找到的最早文獻是希臘的......因此數學就應該是希臘產物。事實上,必須要考慮文獻的來源以及文獻傳遞的可能形式。既然談到了「文獻」,就必須進一步探討「什麼是文獻」這個問題。「沒有明顯的證據並不是明顯沒有證據」。而另一方面,科學史研究所使用的文獻資料,是經過選擇與解讀的結果,夸黑早已弔詭地提出這個看法。

我們還能看到另一個現象:學校教材或科普著作在談到科學史的時候,容易將不同的時空位置貼上同一個地理標籤,讓這些不同時空位置看來有某種同一性。舉例來說,當我們談到巴比倫數學的時候,很容易忽略「古巴比倫」(約在西元前 1600-2000 年)與塞琉古王朝(西元前 311-141年)之間的區別,也不會去考慮巴比倫的不同地區是否有各自具有特色。而在談論中國的「傳統數學」時,我們則把漢朝與宋朝並列,彷彿在一千年中不曾發生過任何變化。我們可能不會去想,從跨越了兩千年、並且地域極為廣袤的文明中,摘取出一些內容,籠統地放入諸如「古代文明」、「非西方科學」的簡短章節中,能夠告訴我們多少歷史的內容。而另外一些書籍,則是把古代文獻中的內容,拆散分開在「計算操作」、「初階幾何」、「線性方程」等等標題下,讀者看不到每個時空的數學多樣性,也看不到這學與社會歷史的關連。

關於這點,我們有許多東西可以學。我們不認為兩千年間沒有發生任何變化,也不認為把一切簡化為短短幾頁。我們通常所說的「文明」或「文化」,實際上是工作、語言、尤其是實踐等各個領域文化的組合。這裡要注意的是,我們所說的「實踐」指的是進行某個活動的具體方式,而不是將某些想法付諸應用。數學首先是人們所做與所談的東西,這正是〈古代世界的科學〉(Sciences in Ancient World) 這個歐洲研究計畫所致力於呈現的。

在進一步觀察其他地理區域時,我們可以提出這些問題:是否有不同的方式去做數學?換句話說,如果結果是相同的,為什麼在不同的「傳統」之間,解題、幾何圖形、證明、一般性這些東西會有不同的方式,並且占有不同的位置?如果是這樣,我們能不能以另外的方式重新閱讀希臘文獻?多少希臘文獻如實呈現了當時希臘人所做的證明?這些文獻是什麼時候,並且如何來到我們的教材中?「畢氏定理」會不會有其他的形式?歷史學家重新閱讀了以往所忽略的計量與學院文獻,以數學實踐的觀點重新解讀數學史,同時也反對在演繹法與計算公式之間畫出鴻溝。

美索不達米亞:不懂幾何者,也不得入此門

要讀到目前所能找到最古老的文獻,就必須前往美索不達米亞。這裡有兩千多片來自不同地方與不同年代的黏土板。大部分的數學黏土板來自於古巴比倫時期(西元前第二個千年的前幾個世紀),另一組黏土板則是西元前第一個千年,內容也有所不同。許多黏土板記載的是計算方法,因此對非專家而言可能是重複的內容。不過我們可以找到一些重大發現,例如進位法、勾股數的一般化,或是二次方程式的解。這些黏土板能告訴我們不少另一個歷史的事情……

科普書籍與學校教材把巴比倫的六十進位法,當作是這個文明最具代表性的最高產物。不過六十記數法並不是從天上掉下來的。某些書籍將這個系統當作是「發明」,也有不少人堅持這些數學記數方法的同一性。將數學上的發現當作是因應現實生活所需的結果,在數學史中是很常見的觀點。

有不少問題在這裡集結。第一個是,在計算方法的文獻中,僅僅看到一個個的數字表,而完全無法得知相關的社會文化脈絡。而這些數字表完全不能告訴我們任何事,可能是因為這裡只有一個實用目的。另一個問題是,將這些數字表所用的記數系統,當作是一個地理區域或「文明」的呈現。

目前所能獲得的最早文獻,可以上溯至西元前第四個千年的烏魯克城 (Uruk),這些資料讓我們看到社會階層的產生以及政治與行政組織的複雜化。我們也看到依照事物性質(穀物、油、動物、時間等等)而制定的各種計數與計量系統,這些伴隨著一個試圖呈現語言字彙的書寫系統而出現。黏土板所記載的內容最主要的部分是計數資料。最古老的記數方法是用不同符號來代表 1, 10, 60, 600, 3600 et 36000 這些數字。我們所說的六十進位法,是以 10 和 6 為進位單位的替換記數系統(羅馬記數法則是以 2 與 5 作為進位單位的替換記數系統,但通常被認為是十進位法)。計算方法的系統並不是六十進位,而是與六十進位相容。由此我們能看到,當時的情形比想像中要更為複雜。

西元前第三個千年,烏魯克僅僅是能為我們提供研究資料的眾多城邦之一,不過考古學家卻找不到這個時代的黏土板。黏土板在西元前 2250 年重新出現,當時的城邦的書記員,將自己定位為社會的菁英分子。我們在這個年代發現了以應用題來呈現數學知識的最早樣本。不過這裡有的卻是一些不切實際的運算。例如:把穀倉裡面 115 萬 2 千「升」的大麥,以每人 7「升」的方式分給工人,得到的答案是可以分給 164,571 人,這個數字卻遠遠超過當時的城邦人口。這裡並沒有出任何差錯,解答問題的技術性,是書記員有意建立起來的寫作文化:透過記載一個不會在現實生活所用到的技術,來展現他們工作的半自主與獨立性。廟宇的大祭司可以為自己的職位感到驕傲,書記員也能如此:他們無懈可擊地掌握了(也就是能夠處理龐大的數量)廟宇的各項會計工作。這裡我們要將文化—文明的概念分解為認知文化的諸多概念,並且避免將數學的實用的功能簡化為單純的實用主義。一個計算公式其實能給歷史學家帶來更多社會史方面的資訊。也就是說,數字會說話!

許多記載行政與經濟資料的黏土板,討論的是計算地理區域的問題。但這裡比較少關於數學演算程序的記載。這裡的文本是一個用以進入數學工作的媒介,如同一個實用的知識,並且與書記員的培訓相關。這裡並不是描述性的文字,用來保存與教授數學演算程序。能看到的是一些問題:告訴你直角三角形的面積與一個直角邊長,讓你算出另一個直角邊長。這看起來是個很實用的問題,但問題是,沒有土地的測量員或徵稅者會在工作中碰到直角三角形。

霍伊魯普 (Jens Høyrup) 發現到,如果從幾何與代數的實用眼光來看,就可以重新解讀黏土板上以楔形文字記載的數學問題。這類型的問題有點像代數,也就是得以讓我們解決正方形或長方形的長度或面積的技術,方法則是表面積的剪貼以及比例運算。

這些問題在過去不為人所注意,因為已經有了現代化的表現方式。我們使用二十世紀的代數語言去「翻譯」古代數學,得到的結果就是以同一性的眼光去看古代數學。文化與語言學的面向也因此被現代符號系統解消。

例如,古巴比倫黏土板 BM 13901 的第一個問題,包含了 24 個關於長方形與正方形的問題。在不同的解釋下,也會有不同的翻譯。

大英博物館的黏土板編號 BM 13901。 圖片來源:大英博物館官方網站 © The Trustees of the British Museum.

黏土板 BM 13901 號,問題 1,圖侯—東將的翻譯(1936 :1):

我把正方塊的面積與邊長相加:45’。

你給出一,這是單位。

你將一分為二:(30)’。

你交乘 [30’] 與30’ : 15’.

你將15’加到45’ : 一。

這是一的方塊。

你從一減去你交叉的30’ : 30’,這是邊長。

黏土板 BM 13901號,問題1,圖侯—東將的翻譯(1936 :1)。

黏土板 BM 13901號,問題 1,霍伊魯普的翻譯 (2010 : 39):

The surface and my confrontation I have accumulated: 45’is it. 1, the projection (L),

You posit. The moiety of 1 (L) you break, 30’and 30’you make hold each other.

15’to 45’ you append: by 1, 1 is the equalside. 30’ which you have made hold

In the inside of 1 you tear out: 30’the confrontation (S).

黏土板 BM 13901號,問題1,霍伊魯普的翻譯(2010 : 39)圖。

普魯斯特注意到,第一個翻譯著重的是現代讀者所熟悉的優雅與清晰,第二個翻譯則著重對原文的忠實。兩個翻譯都呈現隱藏其中並且指引演算程序的推理。在霍伊魯普的譯文中,演算程序包含了對該程序的證明。這些問題並不含有幾何學,至於基礎代數的技術似乎是熟知並且普遍的,不過只有在解決複雜的問題時才會出現在作品中。依照霍伊魯普的說法,這些文獻多半以謎語的方式開始。我們還能看到不同的職業傳統,例如土地測量員或是流動商人。

這裡許多的幾何問題可以用幾何語言去重新解讀。此外我們也在不同的黏土板上發現畢達哥拉斯數3 。這讓我們難以肯定幾何學是誕生於希臘。

※ 請繼續閱讀【泛哲學】希臘真的是數學的誕生地?(下)希臘、中國與歐亞印非大陸

  • 1. 《科學思想史研究論文集》,法文版第397-8頁
  • 2. 康德《純粹理性批判》第二版序言,王玖興譯。
  • 3. 在 IM 55357 號的黏土板中,有一個切割直角三角形的問題。三角形三邊的比例是畢達哥拉斯數 3 : 4 : 5,儘管沒有被用在幾何計算的剪貼程序中,也呈現在比例運算的程序中。在 Tell Dhiba'i 發現的 Db-146 文獻,以及 1775 的其他文字,包含了畢氏定理抽象詞彙的片段。一般規則(亦即不僅僅是 3 : 4 : 5)應該是很通常的。YBC 7289 號黏土版,是我們所知最早的關於平方根的近似值的記載,現代數學用√2表示,包含了一個從對角線切割的正方形圖形。這很可能是由巴比倫第一王朝的書記員所記載,大約在西元前 1900 至 1600 年之間。

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