〈哲學家的世界〉第 15 集:阿基里斯與烏龜的賽事

Achilles and the Tortoise

Achilles and the Tortoise - 60-Second Adventures in Thought
台灣大學哲學所

特洛伊戰爭打到一半,希臘軍的英雄阿基里斯因為同陣營阿加曼農的冒犯憤而離營,卻陰錯陽差地參加了一場奇特的比賽。

司儀道:「首先我們邀請希臘第一勇士,英雄阿基里斯出場。」

 「天啊!真的是阿基里斯!」

「阿基里斯我們愛你!」

「半神阿基里斯──半神阿基里斯──」

集勇氣、俊美與強健於一身的希臘英雄阿基里斯登場。阿基里斯一現身,全場觀眾歡呼驚叫聲立時響徹雲霄。英雄阿基里斯或許早已習慣這種出場方式,不過即便他經歷過特洛依戰爭這種大場面,今天這場簡單的賽跑卻讓他感到莫名的不安。

「這場比賽,贏了對我毫無意義,輸了卻足毀掉我一世勇名。」阿基里斯一邊安慰自己一邊活動筋骨,做賽跑的暖身。

「我只有一個出路!」他認真地對自己說: 「那就是勝利!」

司儀道:「接下來歡迎烏龜君選手出場!」此言一出,場上噓聲四起,烏龜君彷彿瘟神一般,令全場觀眾生厭。

「烏龜君!遜!」

「你不配與阿基里斯比賽!」

「聽到賽笛別躲在龜殼裡不跑啊!」

雙方的氣勢有天壤之別。

大會主席齊諾高喊:「請大家肅靜,比賽快開始了。不過在這之前請大家注意這個押注的板子。」

「什麼?押注的板子?」阿基里斯在心中怒道:「沒想到參加對我來說一無是處的比賽還得給人下注。」他有些氣憤,不過很快壓抑了怒氣,畢竟這個時代比賽押注可是常態。

齊諾喊道:「押注結果實在過於懸殊了,所有人都押阿基里斯選手贏,除了一位之外。」

「什麼?一位?」

「居然還有人押烏龜君贏?這人是不是瘋了?」

觀眾們面面相覷,七嘴八舌討論起來。

「各位不需再多猜測,押烏龜君贏的人就是我。」齊諾道。

「居然是齊諾?」阿基里斯心中再度湧現強烈的不安。因為邀請他參加比賽的人,居然把注押在對手身上,他不得不感到事有蹊蹺。

齊諾朗聲對觀眾道:「因為全部都押同一個人,沒有辦法構成賭局,所以我只好押烏龜君,讓賭局成立,讓大家玩得愉快一點。」

即便解釋合理,阿基里斯仍覺得忐忑不安,不過時間不等人。

「兩位選手請就位,現在開始倒數。」齊諾道。

這次賽跑考慮到選手實力差距,阿基里斯被要求禮讓烏龜君一些。烏龜君的起跑處離終點更近,阿基里斯必須先追趕一段路,才能超過烏龜君。當然這個距離控制在合理的範圍內,足以讓比賽結果未定。

 

「三──」

阿基里斯想起了他的妻子依菲格涅亞,她是如此的美麗善良,純真無暇。若不是因為被捲入特洛伊戰爭,阿基里斯也不會才新婚就離開她。阿基里斯在心中再一次發誓,要永遠保護她。

「二──」

阿基里斯想起了他的表弟帕特羅克洛斯,不知道繼續留在特洛伊戰爭希臘軍中的他是否安好。帕特羅克洛斯年輕氣盛,但經驗不足,一但中了敵人的計謀,很可能會難以脫身。

「一──」

阿基里斯想到特洛伊戰爭中敵方的王子赫克特,聽說他也是萬中無一的英雄,武勇與德行令人景仰,在戰爭中他倆還沒直接對陣,雖然不知道接下來的發展如何,阿基里斯期望有一天能與他交手。

賽笛響起,比賽開始。

阿基里斯火力全開,大步追趕,銅筋鐵骨的小巨人如快箭般飛射而出。他爆發力極佳,一個箭步就縮短了與烏龜君的差距。

烏龜君以一般的速度等速前進著,如果是跟自己比的話,他應該是贏家。他已經比普通烏龜快多了,也比之前的自己快多了,他做足了訓練,訓練發揮了效果。但比賽對手是阿基里斯,獲勝機會仍宛如大海撈針。

阿基里斯與烏龜君一開始相距了K0的距離。

如果要超過烏龜君,他必定得先追過 K0 這段距離。神行太保運腿如風,只耗了短短的一小段時間 T0 就追平 K0 的距離。

不過烏龜君以「等速」前進,即便追趕時間 T0 不長,但烏龜君還是前進了一小段 K1 的距離。若阿基里斯想追上烏龜君,又得追上 K1 的距離。

阿基里斯與烏龜君相距 K1 的距離,要超過烏龜君他勢必得先追過 K1 這段距離。阿基里斯只耗了一小段時間 T1 就追過了 K1 的距離。

不過由於烏龜君是以「等速」前進的,所以即便這段時間極短,但烏龜君還是前進了一小段 K2 的距離。若阿基里斯想追上烏龜君,又得追過 K2 的距離。

阿基里斯與烏龜君相距了 K2 的距離。他只耗了一小段時間 T2 就追過了 K2 的距離。

不過由於烏龜君是以「等速」前進的,即便時間極短,但烏龜君還是前進了一小段距離K3。若阿基里斯想追上烏龜君,他又得追上K3的距離。

 

三次之後,阿基里斯意識到狀況不對,每一次他都與追過烏龜君的機會擦身而過。而且理由都類似。

「這樣下去不行!」緊張的他開始有點喘氣,他決定再衝刺一次。

阿基里斯與烏龜君相距K3的距離,若要追過烏龜君,毫無疑問地,他得先追過K3這段距離。阿基里斯只耗了一小段時間T3就追過K3的距離。

 

不過由於烏龜君是以「等速」前進的,即便時間不長,但烏龜君還是前進了一小段K4的距離。若阿基里斯想追上烏龜君,又得追上K4的距離。

阿基里斯又失敗了,而且跟前三次的狀況並沒有任何的差別。每次當他追上了落後的距離時,烏龜都會往前移了一小步,拉開了距離,不管重複幾次都一樣。

 

●圖:永遠慢一步的阿基里斯/

時間──T0──T1──T2──T3──T4──

龜─K0─K1──K2──K3──K4──K5

基───K0──K1──K2──K3──K4

屢逢失敗的阿基里斯越來越緊張,他看著烏龜君越來越近,卻總無法及時趕上他的身影,他大口呼吸,想讓自己更專心一點,卻發現他越專注,時間就變得越來越慢。

「這怎麼可能!」阿基里斯一慌,卻發現時間已經慢到讓他根本無法呼吸了。

「我……不……能……呼……吸……了……」

停止呼吸一陣子之後,阿基里斯的眼前憑空出現了一片田野般的無盡白雲,他一腳踩在白雲上,覺得既沒有壓力,又不至跌下。

「怎麼會到了這裡!」他一驚,卻發現疲累與喘息都已經消失,徐來輕風吹得他渾身自在舒暢。

天空中傳來美妙的歌聲,眾天使在白雲上飛舞嬉戲。他望見遠處有間座落雲間聖山之上的宏偉神殿,他一眼便知那是奧林匹亞諸神居住之地。

「母親!」

阿基里斯的母親是服侍奧林匹亞諸神的仙女。阿基里斯沒多想,發足便往神殿的方向狂奔。他已經許久沒見母親了,他的心在奔馳中狂喜,每一步都讓他離母親更近。

「母親!」

阿基里斯一邊跑一邊喊著。風與雲從他的耳際呼嘯而過,比賽壓力、煩惱以及擔憂似乎都被這風神似的速度一一拋在腦後。聖山與神殿隨著距離拉近越來越高聳,阿基里斯已經能看見聖山上刻著「十二神」的石碑。

「這必定就是戰勝泰坦的十二神居住的聖山。母親一定在這!」

正對著神明居住的聖山依然無所懼,阿基里斯快步走上樓梯,卻發現前方有一個小小的黑影,腳程迅速拉近視野,他終於看清楚了。那是一直跑在他前面的烏龜君。

「什麼!」

 

心頭一驚的阿基里斯從雲端墜落,回神過來的他發現自己仍在賽跑的路上,而烏龜君依舊在不遠的前方。

這就是希臘英雄的命運,空有舉世神力卻難敵命運的捉弄。不管阿基里斯怎麼追趕,都重複著相同的悲劇,烏龜君的背後卻好像有一堵無形的牆壁,擋住了他,讓他無法前進。

然後就是故事的結尾。感覺到自己永遠追不上烏龜君的阿基里斯終於在賽跑的過程中崩潰,放慢了腳步,漸漸連一步也邁不出去。烏龜君終於跑到了終點,所有人都跌破了眼鏡,雖然這個時代還沒有發明它。

故事來到尾聲。

齊諾對兩位朋友 A 與 B 說:「我將賽跑的故事一口氣說完了。」

A 問道:「你要我們找出故事中推論不合理之處?」

齊諾道:「是的,我是指他追趕烏龜這段過程的分析,依照分析他永遠追不上烏龜,不是嗎?」

A 道:「是的,這點非常不合理。」

B 道:「其實我對剛剛的分析為什麼可以推出阿基里斯永遠追不上烏龜還是有點不了解。」

齊諾道:「好,請讓我再解釋一次。在剛剛的分析中,阿基里斯每追過烏龜一段距離,就會被烏龜超過一點點,對嗎?」

B 道:「對的。」

齊諾道:「而且這整個過程不管重複幾次都是一樣的,對嗎?」

B 道:「對。」

齊諾道:「所以不斷重複推論,就有一個由微小量構成的無限長數列,對嗎?」

B 道:「似乎沒錯。」

「但不管多微小的量,只要重複累積無限多次,終究會變成無限大。」齊諾道:「既然能累積到無限大,這表示烏龜能一直領先。阿基里斯「永遠」追不上烏龜。」

A 道:「這個推論並不合理。」

齊諾道:「哪部分不合理?」

A 道:「我們只要比較烏龜與阿基里斯的速度差多少,再配合上距離就知道誰會贏了!根本不用一步步分析。」

「可是你並沒有指出「我的推論過程」哪裡不合理。」齊諾道:「你指出的只是結果的不合理,這好像你告訴我我的答案是錯的,卻沒有告訴我原來想法錯在哪裡。學習需要過程與結果兼顧,如果對過程無知,只是硬記答案,未來一樣會犯推論上的錯誤。」

A 回道:「你的推論錯在,阿基里斯只要跑到終點就算贏了啊!他不必管烏龜在哪裡,他只要先跑到終點,花的時間比烏龜少,這樣就夠了。」

 

「雖然講法不同,但你剛剛的說法仍舊只是把結果重述一遍。若阿基里斯能跑贏烏龜,在跑到終點之前,他總得先追上烏龜才行,因為他會比烏龜先到終點」齊諾道:「這樣前半段的疑問還是無法解開啊!帳目的第一頁有問題,你說只要最後一頁沒有問題了整個帳目就沒問題,這是不合理的。如果不能解釋追上烏龜的前半段到底怎麼一回事,仍是逃避提問。」

B 道:「換我來提出問題。我認為當你分析描述比賽過程時,把跑步過程切分成許多靜止的部分,這是錯的。阿基里斯並沒有停下來,分析中每一刻都是運動過程的一部分。」

齊諾道:「我不懂你的批評從何而來,我從未讓阿基里斯在過程中靜止,只是在思考中分析過程,思考的分析不是真的切分。說人的身體由軀幹、頭與四肢構成,卻不需真的切分它們。把複雜的事物分析成簡單的部分,不是為了更了解這個事物嗎?」

B 道:「理論上是這樣沒有錯。」

齊諾道:「如果拆解過程是合理的,組合回去的過程也沒有問題,那麼得到的結論不應與原有的觀察矛盾。」

B 道:「可是你在分析時無限地推論下去,這個無限的推論是不合理的。」

齊諾道:「無限推論為何不合理?若兩人速度相同,一人先跑則另一人「永遠」追不上他,這時無限推論就合理,如果認為重複分析無限推論的過程有問題,請你指出在「哪裡」出了問題。你雖然強調分析本身有問題,卻說不出關鍵問題究竟在哪。」

B 最後也沉默不語。

A道:「我不懂,你究竟想從這個故事說明些什麼呢?」

「我想說的是物體的運動過程其實是無法被理解的。」齊諾道:「這樣比喻吧!思考理解世界就好像畫下世界的畫像。不同的狀況就是不同的畫像,收集並記錄畫像之後,我們便能排序並比對這些畫像。」 

「對我們而言畫像是具有意義的資訊。但是,「運動」本身並不在畫像中。因為每一張思考的畫像都是靜態的,「運動」的概念是從比對兩張靜態的畫像而來的,但這卻不是「運動本身」的畫像,因為我們擁有的依然是兩張靜態的畫。」齊諾道:「既便觀察得更仔細,你所有的依舊是更清楚的靜態畫像。我們無法用分析理解運動過程,因為運動過程本身不是思考中的概念,而是比對思考概念的結果。我們越分析,越找不著,越想弄清楚,越覺得糊塗。」 

聽完齊諾的解釋,A與B一起陷入了沉思。他們又多問了幾個問題確認齊諾的意思後,提出了新的疑問。

B道:「可是了解這一點,對我們來說意義是什麼。」

A道:「對啊!我也對這點感到困惑。」 

齊諾道:「弄清楚我們知道什麼,是一種知識。清楚我們不知道什麼,則是一種智慧。」

齊諾提出烏龜悖論之後,曾有許多思想家試著回答,卻不算完全成功。一直要到數學發展到無限收斂級數的概念,確定*部分的前提是錯的,才算真正回覆解決這個悖論。然而提出好問題來刺激人們思考,就是齊諾留給後世最棒的智慧遺產。

Achilles and the Tortoise - 60-Second Adventures in Thought (1/6)

the Open University channel 製作的短片

●後記:

伊利亞學派由三位哲學家組成。色諾芬尼斯(B.C.570-475)、巴門尼德斯(B.C.540-470)與齊諾(B.C.490-430)。三人中齊諾的烏龜悖論可能是最有名的。

伊利亞學派以否定變化與運動著稱,他們重存有輕變化,重思維輕感官,重精神輕物質。從今天的角度來看,完全否定運動是很奇怪的說法,所以故事的最後一段做了點個人詮釋,我將他們詮釋為在討論理解事物的思考結構,他們認為理解的結構是靜態的因此無法直接理解運動。不過這是筆者個人的詮釋,僅供參考。

阿基里斯故事部分也盡量參考了相關神話,這段故事可以被看成阿基里斯在特洛伊戰爭中離營後發生,人名都是特洛伊戰爭中的關鍵人物。後來,阿基里斯返營後殺了赫克特為帕特羅克洛斯報仇,卻也逃不過自己最終戰死的命運。

烏龜悖論的答覆要到在數學上認清無限級數的總和並不總是無限之後才算完整。有些無限級數的總和是有限的數,舉個例子:1+0.1+0.01+0.001+……數列的長度雖然無限,但整個級數總和為1.11111……,這數比1.2還要小。古希臘人誤以為即使是無限小的東西,只要累積無限多次,就會變成無限大。齊諾對運動過程的分析一直停留在阿基里斯還沒追過烏龜之前的那段時間內,但這段分析無法推出阿基里斯「永遠」追不上烏龜。齊諾把對有限時間的無限分析,變成無限的長度,這是最關鍵的錯誤。

然而探索「無限」的概念本身就是冒險又充滿智慧的研究,齊諾的烏龜悖論是思想史上問對問題比答案更重要最好的例子,永遠值得後世紀念。

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文章類別: 
集數: 
第15集
章回: 
阿基里斯與烏龜的賽事

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